1) \(55^{n+1}-55^n\) \(= 55^n . 55 - 55^n\)

\(= 55^n(55-1)\)

\(= 55^n . 54\)

\(= 55^n - 54 : 54\)

\(= 55^n\)

1 ta co 55ⁿ⁺¹ - 55ⁿ = 55ⁿ(55-1)=55ⁿ .54 vi 54 chia het cho 54 => 55ⁿ.54 chia het cho 54

=> 55^n+1 -55^n chia het cho 4

1. Ta có 55ⁿ⁺¹ - 55ⁿ = 55ⁿ . 55 - 55ⁿ

= 55ⁿ . ( 55 - 1)

= 55ⁿ . 54 chia hết cho 54

2. n² . ( n + 1 ) + 2n . ( n + 1 ) = ( n + 1 ) . ( n² + 2n )

= ( n + 1 ) . n . ( n + 2 )

= n . ( n + 1 ) . ( n + 2 )

Ta có : n . ( n + 1 ) chia hết cho 2 với mọi n (1)

n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 3 với mọi n (2)

Từ (1) và (2) suy ra n . ( n + 1 ) . ( n + 2 ) chia hết cho 6 với mọi n

Hay n² . ( n + 1 ) + 2n . ( n + 1 ) chia hết cho 6 với mọi n

1)  \(55^{n+1}-55^n=55^n\left(55-1\right)=55^n.54⋮54\)

2) A= \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

A là tích 3 số TN liên tiep => A\(⋮\)2; A\(⋮\)3

=> A\(⋮\)2.3

A\(⋮\)6

a) Ta có: \(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\)

\(=3^n\cdot9+3^n-2^n\cdot16+2^n\)

\(=3^n\cdot10+2^n\cdot15⋮30\)

Lời giải:
Theo công thức hằng đẳng thức thì:

$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+....+ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a-b$ (đpcm)

Với $n$ lẻ:

$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+....-ab^{n-2}+b^{n-1})\vdots a+b$ (đpcm)

a) Gợi ý: phân tích 50 n + 2   -   50 n + 1 = 245.10. 50 n .

b) Gợi ý: phân tích n 3  - n = n(n - 1)(n +1).

Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)